метод обратной итерации

Первые попытки построения фракталов на Н2.

В свете сказанного можно надеяться, что на Н2, также как и на С, могут существовать фрактальные аналоги множеств Мандельброта и Жюлиа.

Но, как известно, у множества комплексных чисел С есть «двойник» - гиперболические (двойные) числа Н2, с той разницей, что вместо евклидовой плоскости их естественной «средой обитания» оказывается псевдоевклидова плоскость или другими словами двумерное пространство-время. В то время, как в качестве расширения С обычно рассматривается некоммутативная алгебра кватернионов Q, для Н2 естественным расширением является коммутативная алгебра Н4. Коммутативность алгебр С, Н2, Н4 и вообще Нn - во многом предопределяет разнообразие множества аналитических функций соответствующих переменных, а те, в свою очередь, жестко связаны с разнообразием группы конформных отображений. При этом, коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа Нn органично связаны с нетривиальными финслеровыми геометриями с метрикой Бервальда-Моора и видятся, возможно не менее перспективными с точки зрения физических приложений, чем обычные комплексные числа.

на множестве комплексных чисел. Данное отображение было впервые изучено в работах французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату по теории итераций рациональных отображений комплексной плоскости в 1918-1919 гг. Впервые с работами Жюлиа и Фату Мандельброт познакомился в 1945 г. по авторским препринтам, которые он получил от своего дяди. Через 35 лет, заинтересовавшись фракталами, инвариантными относительно нелинейных преобразований, Мандельброт вернулся к этим работам и, уже с применением компьютера, построил первое изображение множества, получившего впоследствии его имя.

Ставшие уже классическими множества Мандельброта и Жюлиа были получены при изучении квадратичного отображения

Как известно, термин «фрактал» был введен Б. Мандельбротом в 1975 г. Первоначальное определение фракталов опиралось на классическое представление о хаусдорфовой размерности: Мандельброт назвал фракталами множества, хаусдорфова размерность которых строго больше топологической (и обычно выражается нецелым числом). Но в дальнейшем он придерживался более широкого определения, в котором ключевым моментом является идея подобия части и целого: на различных масштабах существуют части фигуры, подобные фигуре в целом. При этом имеется в виду именно подобие, а не точное соответствие части и целого. Такая формулировка определения фрактала позволяет значительно расширить область его применимости, особенно для физических систем, которые, в отличие от математических построений, практически никогда не дают точного соответствия целого и его частей.

ФРАКТАЛЫ НА МНОЖЕСТВЕ ДВОЙНЫХ ЧИСЕЛ

Фракталы на множестве двойных чисел